Modos de propagacion

. Introducción

Hasta ahora hemos analizado la propagación en la guía planar.  Consideremos a continuación la guía cilíndrica cuya geometría corresponde con una fibra óptica.  Su estructura es la siguiente:

 Fig. 1.4.1. : Estructura guía cilíndrica

Pero para que el análisis matemático de la misma se pueda simplificar, la estructura de la Guía cilíndrica se reduce al modelo ideal que se muestra a continuación:

Fig. 1.4.2. : Modelo ideal para el estudio de la guía cilíndrica

1.4.1.1. Ecuaciones de Maxwell

Recordemos en primer lugar las ecuaciones de Maxwell que para  medios isótropos, no magnéticos y sin carga libre:

Combinando correctamente estas relaciones, llegamos a las siguientes ecuaciones:

Podemos observar la similitud que guarda cada una de estas ecuaciones con la expresión general de una ecuación de ondas, que reproducimos a continuación:

 

donde , siendo c la velocidad de la luz en el vacío y n es el índice de refracción del medio.  La solución a la ecuación de onda es la siguiente:

con  .     Por lo tanto, para las ecuaciones de onda de los campos eléctrico y magnético:

 

y

 
Ecuaciones de Maxwell para una fibra óptica

    La simetría cilíndrica de una fibra óptica nos sugiere utilizar coordenadas cilíndricas para estudiar el problema, lo que complica, a priori, un poco los cálculos, dado que las relaciones vectoriales son más complejas.  Sin embargo, resolver las ecuaciones de Maxwell para una  simetría cilíndrica  en coordenadas cartesianas acoplaría las diferentes componentes de forma que las ecuaciones resultantes serían muchísimo más complejas.

Por ser una fibra de salto de índice, vamos a considerar una resolución parcial de las ecuaciones de Maxwell en cada una de las regiones (núcleo y revestimiento) como si fuesen medios homogéneos para posteriormente aplicar las condiciones de contorno.  De las ecuaciones transcendentales obtenidas, calcularemos las características de los modos.

    Una de las  consecuencias más importantes de utilizar la simetría cilíndrica es que las soluciones de las ecuaciones son SEPARABLES en cada una de las variables dentro de cada una de las regiones de la fibra (núcleo y revestimiento).  Es decir, cada una de las soluciones a las  ecuación de ondas  anteriores sería la siguiente:

A_i=CF₁(r)F₂(Φ)F₃(z)F₄(t)

donde A_i representa cada una de las incógnitas que tenemos que resolver:

E_r, E_Φ, E_z, H_r, H_Φ, H_z

    No obstante, solo hay que resolver dos de ellas, porque las ecuaciones de Maxwell permiten relacionarlas con la demás.  Calcularemos inicialmente las componentes E_z y H_z.

    Operando sobre las ecuaciones de Maxwell, y asumiendo la forma funcional de las  soluciones, se puede encontrar que las componentes Ez y Hz del campo electromagnético cumplen la siguiente ecuación de ondas en coordenadas cilíndricas:

Campo Eléctrico	Campo Magnético

    Es decir:

    Podemos ver los pasos intermedios por los que se ha pasado hasta llegar a estos resultados. Ver Pasos Intermedios. En la resolución de la ecuación de ondas para guías planas, las dos ecuaciones eran independientes, lo que  daba lugar a modos TE o TM.  En este caso, al ser la  guía bidimensional, las dos componente E_z y H_z no son completamente  independientes, sino que las condiciones de contorno van a acoplar las dos componentes.  Las condiciones de contorno en este caso  para las componentes tangenciales son:

 
Resolución de la ecuación de ondas

    Como decíamos en el apartado anterior, y por ser una fibra de salto de índice, vamos a considerar una resolución parcial de las ecuaciones de Maxwell en cada una de las regiones (núcleo y revestimiento) como si fuesen medios homogéneos para posteriormente aplicar las condiciones de contorno.  La ecuación de ondas obtenida en el apartado anterior fue la siguiente:

donde el parámetro q² estaba definido como:

q² = ω²με - β²

Las ecuaciones con esta estructura se denominan ecuaciones diferenciales de Bessel. Sus soluciones son funciones de Bessel de orden ν y dependen, en general del valor de q².

1.4.3.1.  Resolución de la ecuación de ondas en el núcleo

La condición impuesta a la constante de propagación en la fibra para que los modos fuesen guiados era la siguiente:

n₂k = k₂ ≤ β ≤ k₁ = n₁k

Por otra parte, según la ecuación [2] el valor de q en el núcleo de la fibra (q_nucleo) viene dado por:

y de acuerdo con la ecuación [3],  .  Si  , entonces la solución a la ecuación diferencial de Bessel [1] es:

donde C₁ y C₂ son constantes y  y  son funciones de Bessel de primera y segunda especie respectivamente.

En este punto conviene detenerse para observar que las soluciones radiales dependen del orden ?.  Como es un número entero, la solución a la ecuación de Helmholtz no es única, sino que existen infinitas soluciones, cada una de las cuales da lugar a un patrón de campo electromagnético transversal a la dirección de propagación z único, que se caracteriza por una variación radial y acimutal diferente.  A cada uno de estos patrones es a lo que se denomina MODO.

En  cuanto a los campos en el núcleo de la fibra, r ≤ a, hay que considerar su comportamiento en las inmediaciones de su eje, es decir cuando  .  Comprobando la forma de las funciones de Bessel, C₂ = 0, ya que la función  diverge cuando r tiende a 0.
 

1.4.3.2.  Resolución de la ecuación de ondas en el revestimiento
 En este caso, según la ecuación [2] el valor de q en el revestimiento de la fibra (q_{revestimiento}) viene dado por:

y de acuerdo con la ecuación [3],  .  Si  , entonces la solución a la ecuación diferencial de Bessel [1] fuera del núcleo de la fibra es:

donde C₃ y C₄ son constantes y  y  son funciones modificadas de Bessel de primera y segunda especie respectivamente.

Si se desea que la señal propagada esté confinada en el núcleo, entonces los campos han de ser rápidamente decrecientes o evanescentes en el revestimiento.  La única función de Bessel que presenta dicho comportamiento es la función  .  Necesariamente C₃ ha de ser 0, ya que la función   es decreciente con x.

Resumiendo:

La solución de la ecuación de ondas para los campos eléctrico y magnético es:

 

Recordemos que es una solución oscilatoria en el núcleo y evanescente en el revestimiento, siempre que se cumpla la condición de modos guiados:

n₂k ≤ β ≤ n₁k

El resto de las componentes del campo electromagnético se pueden obtener a partir de E_z y H_z utilizando las ecuaciones de Maxwell:

 

  

 

1.4.4. La ecuación de dispersión Faltan por obtener las constantes A, B, C y D, necesarias para que los campos tangenciales  (Ez,EΦ,Hz,HΦ) sean continuas en r=a. Obtenemos  un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas (A, B, C y D) cuya resolución queda supeditada a que se anule el siguiente determinante: Resolviendo el determinante obtenemos la siguiente ecuación de dispersión: donde: Ver resolución del determinante paso a paso Cada una de las soluciones a las ecuaciones de Maxwell cumplen esta ecuación.  En concreto, también se debe cumplir cuando cualquiera de los modos comience a propagarse por la fibra.  Un modo comienza a propagarse justo cuando b=0.  En este caso, y según la ecuación: q2 = 0, por lo que según la ecuación: Analizando la ecuación característica bajo estos supuestos, se llega a que las frecuencias de corte de los modos son los ceros de la función:

 

1.4.5. Resolución de la ecuación de dispersión Resolver la ecuación de dispersión no es algo  trivial, y por eso vamos, en primer lugar a estudiar un par de casos sencillos.  Utilizaremos como ayuda las  siguientes relaciones: . No existe variación de las componentes del campo con Φ. Esta ecuación tiene dos soluciones: Primera solución:  o  lo que es lo mismo: Se puede comprobar que esta solución corresponde a una situación en la que Ez=0 (modos TE).  Las m soluciones de esta ecuación que cumplan la condición de modo quiado se denominarán TE0m. Segunda solución: o lo que es lo mismo: Esta solución corresponde a una situación en la cual Hz= 0 .  Son los modos TM0m. En estos casos, la componente del campo Hz y Ez pueden ser diferentes de cero a la vez, por lo que a los modos solución de esta ecuación se los denomina modos híbridos, y se les designa por HE o EH dependiendo de cuáles son las componentes que dominan.  En los modos EH dominarán las componentes del campo eléctrico y en los modos HE dominarán las componentes del campo magnético. Las ecuaciones características de los distintos tipos de modos se resumen a continuación en la siguiente tabla: Modos TM Modos TE Modos HE Modos EH donde:

 

 

1.4.7. Modos linealmente polarizados (LP) Veamos qué ocurren en el  caso de que los índices de refracción del núcleo y el revestimiento de la fibra sean muy próximos, es decir que n1≈ n2  en este caso las constantes de propagación en medios de índices n1 y n2 se pueden escribir como: y n1≈ n2. Teniendo en cuenta la condición impuesta a la constante de  propagación en la fibra para que  los modos sean guiados: en consecuencia, Por lo tanto la ecuación característica de la fibra se transforma en: Analizando esta ecuación se puede llegar a las expresiones de las ecuaciones características de los modos bajo la hipótesis de guiado débil, que se encuentran resumidas en la siguiente tabla:   Modos TE y TM Modos HE Modos EH Observamos que varios modos comparten la misma ecuación característica y de esta forma serían modos degenerados.  Gloge propone para estos modos una notación especial, los denomina modos linealmeante polarizados (LP), de acuedo a la siguiente regla: LP0m para los modos HE1m LP1m para los modos TE0m, TM0m y HE2m para los modos  y Además la notación propuesta por Gloge tiene otro significado:   Un modo  tiene  máximos de intensidad a lo largo del perímetro y m máximos  a lo largo del radio. Se puede comprobar que, componiendo adecuadamente estos modos, se puede conseguir una vibración del vector campo electromagnético un  un plano (linealmente polarizados).  Por eso se llaman modos LP.

 

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